Tancredo havia se submetido a uma agenda de campanha bastante extenuante, articulando apoios do Congresso Nacional e dos governadores estaduais e viajando ao exterior na qualidade de presidente eleito da República. Tancredo vinha sofrendo de fortes dores abdominais durante os dias que antecederam a posse. Aconselhado por médicos a procurar tratamento, teria dito: "Façam de mim o que quiserem - depois da posse".
Tancredo temia que os militares da chamada "linha-dura" se recusassem a passar o poder ao vice-presidente. Tancredo decidiu só anunciar a doença no dia da posse, 15 de março, quando já estivessem em Brasília os chefes de estados esperados para a cerimônia de posse, com o que ficaria mais difícil uma ruptura política. A sua grande preocupação com a garantia da posse era respaldada pela frase que ouvira de Getúlio Vargas a esse respeito:
"No Brasil, não basta vencer a eleição, é preciso ganhar a posse! "
— Getúlio Vargas
Porém, a sua saúde não resistiu e, na véspera da posse (14 de março de 1985), adoeceu com fortes e repetidas dores abdominais durante uma cerimônia religiosa no Santuário Dom Bosco, em Brasília. Foi, às pressas, internado no Hospital de Base de Brasília. Ao primo Francisco Dornelles, indicado à época para assumir o Ministério da Fazenda, Tancredo afirmara que só aceitaria se submeter à cirurgia se tivesse garantias que Figueiredo iria empossar o vice-presidente (José Sarney).
José Sarney assumiu a Presidência em 15 de março, aguardando o restabelecimento de Tancredo. Leu o discurso de posse que Tancredo havia escrito e que pregava conciliação nacional e a instalação de uma assembleia nacional constituinte.
" Não celebramos, hoje, uma vitória política. Esta solenidade não é a do júbilo de uma facção que tenha submetido a outra, mas festa da conciliação nacional, em torno de um programa político amplo, destinado a abrir novo e fecundo tempo ao nosso País. A adesão aos princípios que defendemos não significa, necessariamente, a adesão ao governo que vamos chefiar. Ela se manifestará também no exercício da oposição. Não chegamos ao poder com o propósito de submeter a Nação a um projeto, mas com o de lutar para que ela reassuma, pela soberania do povo, o pleno controle sobre o Estado. A isso chamamos democracia! "
—Tancredo Neves
Existia grande tensão na época devido à possibilidade de uma interrupção na abertura democrática em andamento. Caso Sarney não assumisse, deveria ser empossado em seu lugar o então presidente da Câmara dos Deputados, Ulysses Guimarães do PMDB, pouco aceito pelos militares. O grande risco era que ocorresse um retrocesso, já que na época os setores militares mais conservadores, a chamada linha-dura, tentavam desestabilizar a redemocratização e manter o regime militar.
Na madrugada de 14 para 15 de março, em uma reunião em que estavam presentes Ulisses, Fernando Henrique Cardoso, Sarney e o ministro do exército Leônidas Pires Gonçalves, a opinião deste sobre a interpretação da Constituição de 1967 prevaleceu, e, na manhã de 15 de março, as 10:00 horas, o Congresso Nacional deu posse a Sarney.
Devido às complicações cirúrgicas ocorridas - para o que concorreram as péssimas condições ambientais do Hospital de Base do Distrito Federal, que estava com a Unidade de Tratamento Intensivo demolida, em obras -, o estado de saúde se agravou, e teve de ser transferido em 26 de março para o Hospital das Clínicas de São Paulo. Durante todo o período em que ficou internado, Tancredo sofreu sete cirurgias. No entanto, em 21 de abril (na mesma data da morte de Tiradentes), Tancredo faleceu vítima de infecção generalizada, aos 75 anos. A morte de Tancredo foi tristemente anunciada pelo então porta-voz oficial da presidência para a imprensa, Antônio Britto.
Na época, havia rumores que Tancredo já havia morrido há dias e sua morte não era anunciada a espera de se resolverem os problemas políticos resultantes da formação do novo governo presidido porJosé Sarney e para a data da morte coincidir com a data da morte de Tiradentes.
" Lamento informar que o Excelentíssimo Senhor Presidente da República, Tancredo de Almeida Neves, faleceu esta noite no Instituto do Coração, às 10 horas e 23 minutos [...]. "
— Antônio Britto, porta-voz oficial - 1985
Houve grande comoção nacional, especialmente porque Tancredo Neves seria o primeiro presidente civil após o Golpe de 1964. O Brasil, que acompanhara tenso e comovido a agonia do político mineiro, promoveu um dos maiores funerais da história nacional. Calculou-se na época que, entre São Paulo, Brasília, Belo Horizonte e São João del-Rei, mais de dois milhões de pessoas viram passar o esquife. Coração de Estudante, uma canção do cantor mineiro Milton Nascimento, marcou o episódio na memória nacional.
O epitáfio que o presidente eleito previra certa vez numa roda de amigos, em conversa no Senado, não chegou a ser gravado na lápide, no cemitério, ao lado da Igreja de São Francisco de Assis, em São João del-Rei:
"Aqui jaz, muito a contragosto, Tancredo de Almeida Neves".
Seu enterro, em São João del-Rei, foi transmitido em rede nacional de televisão, tendo discursado, a beira do túmulo 85, que lembra o ano em que foi eleito presidente, o deputado federal Ulisses Silveira Guimarães, na época, presidente da Câmara dos Deputados.
No cemitério da Igreja de São Francisco há uma placa comemorativa da visita do presidente francês François Mitterrand que conhecera Tancredo, quando este viajara à Europa. Em março de 2008, a sepultura de Tancredo foi violada e a peça de mármore da parte superior do túmulo foi quebrada.
Na cidade de São João del-Rei, foi homenageado com a colocação de uma estátua sua ao lado da estátua de Tiradentes.